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Ableitungsrechner

Geben Sie die Funktion und Variable ein, um die Ableitung mit dem Ableitungsrechner zu ermitteln.

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Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner wird verwendet, um die Ableitung einer gegebenen Funktion in Bezug auf die unabhängige Variable zu finden. Dieser Rechner kann mit nur einem Klick eine explizite Differenzierung durchführen.

Derivat – Definition

Lassen Sie  f(x)  eine Funktion sein, deren Domäne irgendwann ein offenes Intervall enthält  X 0 .  Die Funktion  f(x)  soll differenzierbar bei  X 0 , und die Ableitung von  f(x)  bei  X 0  ist gegeben durch:

First

Mit anderen Worten: Die Ableitung misst die Empfindlichkeit gegenüber einer Änderung des Funktionswerts in Bezug auf eine Änderung seines Arguments. Die Umkehrfunktion der Ableitung wird als  Stammfunktion.

differentiation

Regeln der Ableitung

Hier einige Regeln zur Differenzierung:

  1. Machtregel

f(x)f'(x)
xnnxn-1
  1. Exponentielle Regeln

f(x)f'(x)
axln(a) ax
exex
  1. Logarithmische Regeln

f(x)f'(x)
loga(x)1/xln(a)
ln|x|1/x
  1. Trigonometrische Regeln

f(x)f'(x)
cos(x)-sin(x)
sin(x)cos(x)
tan(x)sec2(x)
sec(x)sec(x)tan(x)
csc(x)-csc(x)cot(x)
cot(x)-csc2(x)
  1. Differenzierungsregeln

f(x)f'(x)
constant (c)0
f(x) + h(x)f'(x) + h'(x)
f(x) - h(x)f'(x) - h'(x)
f(cx)c * f'(x)
f(x) * h(x)f'(x) h(x) + h'(x) f(x)
f(x) / h(x)1/h2(x)[f'(x) h(x) - h'(x) f(x)]

Sie können den oben genannten Differenzierungsrechner nutzen, um Differenzierungsprobleme gemäß den oben besprochenen Regeln zu lösen.

Wie finde ich Derivate mithilfe von Regeln?

Nutzen Sie unseren Ableitungsrechner mit Schritten, um die Funktionen gemäß den Differenzierungsregeln zu differenzieren. Hier ist ein manuelles Beispiel für eine Funktion differenzieren Regeln anwenden.

Beispiel

Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion nach „u“.

$$f\left(u\right)=\frac{u}{\left(u^2+1\right)}$$

Lösung

Schritt 1: Wenden Sie d/du auf die angegebene Funktion an.

$$\frac{d}{du}\left[f\left(u\right)\right]=\frac{d}{du}\left[\frac{u}{\left(u^2+1\right)}\right]$$

Schritt 2: Verwenden Sie die Quotientenregel, um den obigen Ausdruck zu differenzieren.

$$=\frac{\left[\left(u^2+1\right)\:\frac{d}{du}\left(u\right)-u\:\frac{d}{du}\left(u^2+1\right)\right]}{\left(u^2+1\right)^2}$$ ... (1)

Schritt 3: Finden Sie Derivate

$$\frac{d}{du}\left(u\right)=1$$

$$\frac{d}{du}\left(u^2+1\right)=\frac{d}{du}\left(u^2\right)+\frac{d}{du}\left(1\right)$$ 

$$\frac{d}{du}\left(u^2+1\right)=2u+0=2u$$

Schritt 4: Ersetzen Sie nun die obigen Ergebnisse in (1).

$$=\frac{\left[\left(u^2+1\right)\left(1\right)-u\left(2u\right)\right]}{\left(u^2+1\right)^2}$$

$$=\frac{\left[u^2+1-2u^2\right]}{\left(u^2+1\right)^2}$$

$$=\frac{\left[1-u^2\right]}{\left(u^2+1\right)^2}$$

Daher  

$$\frac{d}{du}\left[\frac{u}{\left(u^2+1\right)}\right]=\frac{\left[1-u^2\right]}{\left(u^2+1\right)^2}$$

Beispiele für Derivate

Hier sind einige Beispiele für Ableitungen, die mit unserem Differenzierungsrechner gelöst werden.

Funktion Ableitung der Funktion
Ableitung von x1
Ableitung von 3^x3x * ln(3)
Ableitung von x^22x
Ableitung von x^1/21/x1/2
Ableitung von 5^x5x * ln(5)
Ableitung von x/21/2
Ableitung von x^ee * xe-1
Ableitung von 1/x-1/x2
Ableitung von 2x2
Ableitung von 20
Ableitung von x^xxx(ln(x) + 1)
Ableitung von x^-1-x-2
Ableitung von 2^x2x * ln(2)
Ableitung von 4^x4x * ln(4)

Sie können das obige Ergebnis mit unserem Ableitungsrechner überprüfen.

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